Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Aufgrund der lokalen Definition liegt eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Modulgarbe der meromorphen Funktionen vor. Zu einer holomorphen Funktion und gehört wegen

    auch zu . Also liegt eine Modulgarbe vor. Zu dem Divisor gibt es zu jedem Punkt eine zusammenhängende offene Umgebung und eine meromorphe Funktion auf , deren Hauptdivisor gleich ist. Die Konstruktion der zugehörigen Garbe ist lokal, die Invertierbarkeit können wir also auf nachweisen. Es ist also

    Dabei besitzt die meromorphe Funktion auf einen Divisor, der überall nichtnegativ ist und daher ist auf nach Fakt holomorph. Also ist

    ein Isomorphismus.

  2. Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung wissen wir für jede offene Menge und jede meromorphe Funktion auf , dass

    auf genau dann gilt, wenn

    gilt. Wenn sich und in einem Punkt unterscheiden, so kann man ein Kartengebiet um wählen, dass außer keinen weiteren Trägerpunkt von oder von enthält. Dann gibt es aber eine meromorphe Funktion, deren Ordnung an mit der von übereinstimmt aber nicht mit der von .

  3. Dies folgt aus (2).
  4. Dies beruht darauf, dass das Tensorprodukt von invertierbaren Garben, die als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen vorliegen, lokal durch das Produkt der Erzeuger gegeben ist.
  5. Wenn lokal auf durch die meromorphe Funktion erzeugt wird, so wird die duale Garbe lokal durch erzeugt.
  6. Siehe Aufgabe.