Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Garbeneigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Holomorphe Abbildungen

   $\varphi ,\psi \colon X\longrightarrow Y$

   stimmen genau dann überein, wenn die Einschränkungen ${}\varphi {|}_{U_{i}}$ und ${}\psi {|}_{U_{i}}$ für alle ${}i$ übereinstimmen.

2. Es seien holomorphe Abbildungen ${}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow Y$ gegeben, die ${}\varphi _{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}=\varphi _{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$ für alle ${}i,j$ erfüllen. Dann gibt es eine holomorphe Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ mit

   ${}\varphi {|}_{U_{i}}=\varphi _{i}\,$

   für alle ${}i$.

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