Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Exaktheit eine lokale Frage ist, können wir direkt annehmen, dass ${}X$ eine offene Kreisscheibe ${}U$ ist. Eine Differentialform in der Mitte besitzt die Gestalt ${}fdz$ mit ${}f\in {\mathcal {E}}(U)$, sie wird auf ${}df=-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}dz\wedge d\,{\overline {z}}$ abgebildet. Dies ist genau dann ${}0$, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ gleich ${}0$ ist. Deshalb folgt die Exaktheit in der Mitte aus der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung und die Exaktheit rechts aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage