Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe endliche Abbildung/Ganzheitsgleichung/Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt eine endliche Körpererweiterung vom Grad vor. Nach Fakt ist

mit einer meromorphen Funktion auf und einem Minimalpolynom

mit meromorphen Funktionen . Es sei das Komplement einer diskreten Teilmenge derart, dass über unverzweigt ist, dass die holomorph auf sind und dass auf

holomorph ist. Wir betrachten die Abbildung

Wegen als holomorphe Funktion auf ist

und daher liegt das Bild von im Nullstellengebilde zu . Die Abbildung ist injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und aus Anzahlgründen auch surjektiv. Wir haben also eine Homöomorphie zwischen den beiden holomorphen Überlagerungen und über . Daher ist auch biholomorph.