Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe endliche Abbildung/Ganzheitsgleichung/Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt eine endliche Körpererweiterung ${}{\mathcal {M}}{\left(X\right)}\subseteq {\mathcal {M}}{\left(Y\right)}$ vom Grad ${}n$ vor. Nach Fakt ist

${}{\mathcal {M}}{\left(Y\right)}={\mathcal {M}}{\left(X\right)}[g]\cong {\mathcal {M}}{\left(X\right)}[T]/(H)\,$

mit einer meromorphen Funktion ${}g$ auf ${}Y$ und einem Minimalpolynom

${}H=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\,$

mit meromorphen Funktionen ${}a_{j}\in {\mathcal {M}}{\left(X\right)}$. Es sei ${}X'\subseteq X$ das Komplement einer diskreten Teilmenge derart, dass ${}\pi$ über ${}X'$ unverzweigt ist, dass die ${}a_{j}$ holomorph auf ${}X'$ sind und dass ${}g$ auf

${}Y'=\pi ^{-1}(X')\,$

holomorph ist. Wir betrachten die Abbildung

$\pi \times g\colon Y'\longrightarrow X'\times {\mathbb {C} }.$

Wegen ${}H(g)=0$ als holomorphe Funktion auf ${}Y$ ist

${}H(g)(P)={\left(\sum _{j=0}^{n}a_{j}g^{j}\right)}(P)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}(\pi (P))g^{j}(P)=H(\pi (P),g(P))=0\,$

und daher liegt das Bild von ${}\pi \times g$ im Nullstellengebilde ${}V$ zu ${}H$. Die Abbildung ist injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und aus Anzahlgründen auch surjektiv. Wir haben also eine Homöomorphie zwischen den beiden holomorphen Überlagerungen ${}Y'\rightarrow X'$ und ${}V\rightarrow X'$ über ${}X'$. Daher ist ${}Y'\rightarrow V$ auch biholomorph.

Zur bewiesenen Aussage