Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Abbildung nach projektive Gerade/Fakt/Beweis

Beweis

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion

vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt , an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also einen Pol in und sei eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann auf (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung mit und . Wir schreiben

Es ist holomorph ohne Nullstelle und daher ist

holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung

ist . Diese lässt sich durch holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden mit der Identifizierung auf zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.