Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Decktransformationen und Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Für eine Decktransformation

und eine meromorphe Funktion ist auch wieder meromorph, wobei meromorphe Funktionen auf in sich selbst überführt werden. Daher erhält man eine natürliche Abbildung

die offenbar ein Gruppenhomomorphismus ist. Es werde über von der meromorphen Funktion erzeugt und es sei

das Minimalpolynom mit . Es sei ein Punkt, der nicht im Verzweigungsbild liegt und wo die Koeffizientenfunktionen holomorph seien, mit den Urbildpunkten . Dann besitzt an diesen Punkten unterschiedliche Werte. Aus im Körper für alle Decktransformationen folgt, dass diese Punkte in sich selbst überführt werden und daraus ergibt sich überhaupt mit Fakt, dass die Identität ist. Der Gruppenhomomorphismus ist also injektiv.

Es sei nun ein Automorphismus des Körpers. Dieser ist durch das Bild des Erzeugers festgelegt, und erfüllt ebenfalls das Minimalpolynom. Wir betrachten

wobei die Teilmenge von bezeichne, auf der eine Überlagerung vorliegt und so, dass die auf und auf holomorph ist. Wegen Fakt ist biholomorph zum Nullstellengebilde zu über . Die Abbildung

ist eine Decktransformation oberhalb von , die auf abbildet. Nach Fakt lässt sich die Decktransformation auf ganz ausdehnen.