Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus

    Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung

    vor. Die Differentialform wird nach zurückgezogen. Da nicht konstant ist, ist nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm

    vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.

  2. Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, siehe Fakt. In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als beschrieben bzw. halmweise durch

    Dieser Restklassenring ist ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Dies ist nach Fakt die Verzweigungsordnung von in weniger .

  3. Dies folgt aus (2).