Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt/Beweis

Beweis

1. Der Rückzug von Differentialformen liefert einen Garbenhomomorphismus

   $\varphi ^{*}\Omega _{Y}\longrightarrow \Omega _{X}.$

   Lokal liegt auf offenen Kreisscheiben eine Abbildung

   $f\colon U\longrightarrow V,\,z\longmapsto f(z)=w,$

   vor. Die Differentialform ${}dw$ wird nach ${}f'(z)dz$ zurückgezogen. Da ${}f$ nicht konstant ist, ist ${}f'$ nicht die Nullfunktion. Es liegt somit lokal ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}\varphi ^{*}{\mathcal {O}}_{Y}\cong {\mathcal {O}}_{X}&{\stackrel {1\mapsto f'}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{X}&\\\!\!\!\!\!1\mapsto dw\downarrow &&\downarrow 1\mapsto dz\!\!\!\!\!&\\\varphi ^{*}\Omega _{Y}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Omega _{X}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   vor, wobei die vertikalen Abbildungen Isomorphien sind. Da die obige Abbildung als Garbenhomomorphismus injektiv ist, gilt dies auch für die untere.

2. Es liegt insgesamt die Situation einer invertierbaren Garbe als Untergarbe einer invertierbaren Garbe vor, damit besitzt auf der kompakten riemannschen Fläche ${}X$ die Restklassengarbe automatisch endlichen Träger, siehe Fakt. In der Situation von Teil (1) wird die Restklassengarbe lokal als ${}{\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}$ beschrieben bzw. halmweise durch

   ${}{\left({\mathcal {O}}_{X}/f'{\mathcal {O}}_{X}\right)}_{P}={\mathcal {O}}_{X,P}/f'{\mathcal {O}}_{X,P}\,.$

   Dieser Restklassenring ist ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum der Dimension ${}\operatorname {ord} _{P}\,(f')$. Dies ist nach Fakt die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ in ${}P$ weniger ${}1$.

3. Dies folgt aus (2).

Zur bewiesenen Aussage