Riemannsche Flächen/Kompakt/Holomorphe Abbildung/Differerentialformen/Exakte Sequenz/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es liegt die Untergarbenbeziehung

   ${}\varphi ^{*}\Omega _{Y}\subseteq \Omega _{X}\,$

   vor.

2. Die Restklassengarbe ${}\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}$ besitzt endlichen Träger, und es gilt

   ${}{\left(\Omega _{X}/\varphi ^{*}\Omega _{Y}\right)}_{P}={\mathbb {C} }^{R_{P}}\,$

   mit

   ${}R_{P}=\operatorname {Verz} {\left(P{|}\varphi (P)\right)}-1\,.$

3. Zwischen den kanonischen Divisoren besteht die Beziehung

   ${}K_{X}\sim \varphi ^{*}K_{Y}+R\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen