Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Divisor/Textabschnitt

Definition

Zu einer meromorphen Differentialform ${}\omega \neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ definiert man den zugehörigen Divisor durch

${}\operatorname {div} {\left(\omega \right)}=\sum _{P\in X}n_{P}P\,$

mit ${}n_{P}=\operatorname {ord} _{P}\,(f)$, wenn ${}\omega =fdz$ eine lokale Beschreibung der Form mit einer meromorphen Funktion ${}f$ ist.

Einen solchen Divisor nennt man auch einen kanonischen Divisor.

Beispiel

Wir betrachten auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Einbettung ${}{\mathbb {C} }=U\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ mit der Variablen ${}z$ und der zugehörigen meromorphen Differentialformen. ${}dz$. Da ${}z$ auf ganz ${}U$ ein lokaler Parameter ist, ist der zugehörige Divisor auf ${}U$ trivial. Um im unendlich fernen Punkt ${}\infty$ für ${}dz$ die Ordnung zu bestimmen muss man mit dem lokalen Parameter ${}w=z^{-1}$ arbeiten. Es ist

${}dz=dw^{-1}=-w^{-2}dw\,$

und daher ist die Ordnung in ${}\infty$ gleich ${}-2$.

Beispiel

Auf einem komplexen Torus ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ gibt es nach Fakt die holomorphe Differentialform ${}dz$, die der ${}\Gamma$-invarianten Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ entspricht. Diese besitzt weder eine Polstelle noch eine Nullstelle, der zugehörige Divisor ist also trivial.

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Für die Divisoren zu meromorphen Differentialformen gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind zueinander linear äquivalent.
2. Für eine meromorphe Differentialform ${}\omega \neq 0$ und eine meromorphe Funktion ${}f\neq 0$ ist

   ${}\operatorname {div} {\left(f\omega \right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(\omega \right)}\,.$

3. Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion ${}f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ die Beziehung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}=\operatorname {div} {\left(f\right)}_{P}-1\,.$

   Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung

   ${}\operatorname {div} {\left(df\right)}_{P}\geq 0\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Nach Fakt  (1) sind sämtliche kanonischen Divisoren zueinander linear äquivalent und definieren daher eine eindeutige Klasse in der Divisorenklassengruppe, die die kanonische Klasse heißt. Für eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ folgt aus Fakt  (1) in Verbindung mit Fakt, dass der Grad eines kanonischen Divisors auf ${}X$ wohldefiniert ist. Gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf der projektiven Geraden den Grad ${}-2$, gemäß Beispiel besitzt der kanonische Divisor auf einem Torus den Grad ${}0$. In Fakt wird gezeigt, dass der Grad gleich ${}2g-2$, wenn ${}g$ das Geschlecht der riemannschen Fläche bezeichnet.