Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis
Beweis
- Es sei die kanonische Volumenform auf und
.
Es sei
eine
Orthonormalbasis
von , die die Orientierung von repräsentiert. Dann ist
Wegen der Isometrie ist eine Orthonormalbasis von und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf , daher ist der Wert gleich . Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf .
- Die Kurvenlänge von ist das Integral zu , wobei die Norm in zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von das Integral über , was wegen der Isometrie das gleiche ist.
- Zu einer Teilmenge
ist das Maß zur kanonischen Volumenform von über nach Teil (1) und
Fakt
gleich
- Dies folgt direkt aus der Isometrie.