Riemannsche Mannigfaltigkeit/Isometrie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Es sei die kanonische Volumenform auf und . Es sei eine Orthonormalbasis von , die die Orientierung von repräsentiert. Dann ist

    Wegen der Isometrie ist eine Orthonormalbasis von und wegen der Orientierungserhaltung der Abbildung repräsentiert sie die Orientierung auf , daher ist der Wert gleich . Diese Eigenschaft charakterisiert die kanonische Volumenform auf .

  2. Die Kurvenlänge von ist das Integral zu , wobei die Norm in zu nehmen ist. Entsprechend ist die Kurvenlänge von das Integral über , was wegen der Isometrie das gleiche ist.
  3. Zu einer Teilmenge ist das Maß zur kanonischen Volumenform von über nach Teil (1) und Fakt gleich
  4. Dies folgt direkt aus der Isometrie.