Riemannsche Mannigfaltigkeit/Karte/Isometrie/Fakt

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei

$\alpha \colon U\longrightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

eine Karte auf ${}M$.

Dann ist ${}\alpha$ eine Isometrie zwischen ${}U$ und ${}V$, wenn ${}V$ mit den durch die metrischen Fundamentalfunktionen ${}g_{ij}$ festgelegten Skalarprodukt versehen wird.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen