Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Die Linearität in beruht darauf, dass der Zusammenhang linear ist. Die Linearität in und in beruht auf Fakt und auf Fakt.
  2. Für die Abhängigkeit in und folgt die Aussage aus Fakt. Um zu zeigen, dass auch die Abhängigkeit in nur von abhängt, können wir von der lokalen Situation auf ausgehen und , und mit einer zweifach stetig differnezierbaren Funktion ansetzen. Es ist dann nach Fakt, Fakt und dem Satz von Schwarz
    woraus hervorgeht, dass dies nur von abhängt.
  3. Ist klar aufgrund der Definition und wegen Fakt.
  4. Aufgrund der Torsionsfreiheit (siehe Fakt) und der Jacobi-Identität ist
  5. Wir können und aus Vektorfelder mit beschränken. Es ist dann nach Fakt  (2) und dem Satz von Schwarz
  6. Unter Verwendung von (3), (4) und (5) ist
    Dies ergibt die Behauptung.