Riemannsche Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe/Lösung


Die Aussage ist lokal, ohne Einschränkung sei daher versehen mit einer riemannschen Struktur durch Funktionen . Die Voraussetzung besagt

Mit den Christoffelsymbolen formuliert ist

und

die Bedingung besagt also

Wir müssen

für beliebige stetig differenzierbare Vektorfelder zeigen, die wir jeweils als mit stetig differenzierbaren Funktionen ansetzen können. Es sei zunächst und

und

Das Skalarprodukt ist additiv in den Komponenten und ist auch additiv, da ein linearer Zusammenhang vorliegt. Ebenso ist additiv. Deshalb können wir uns auf Felder der Form und mit fixierten beschränken. Für die linke Seite ergibt sich

Nach Fakt ist

und

Daher ist

und

Die Summe der beiden Terme stimmt mit der linken Seite überein.

Im Richtungsfeld sind beide Seiten linear und auch mit der Multiplikation mit Funktionen verträglich.