Die Aussage ist lokal, ohne Einschränkung sei daher
versehen mit einer riemannschen Struktur durch Funktionen . Die Voraussetzung besagt
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Mit den Christoffelsymbolen formuliert ist
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und
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die Bedingung besagt also
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Wir müssen
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für beliebige stetig differenzierbare Vektorfelder zeigen, die wir jeweils als mit stetig differenzierbaren Funktionen ansetzen können. Es sei zunächst
und
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und
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Das Skalarprodukt ist additiv in den Komponenten und ist auch additiv,
da ein linearer Zusammenhang vorliegt. Ebenso ist
additiv. Deshalb können wir uns auf Felder der Form
und
mit fixierten beschränken. Für die linke Seite ergibt sich
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Nach
Fakt
ist
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und
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Daher ist
und
Die Summe der beiden Terme stimmt mit der linken Seite überein.
Im Richtungsfeld
sind beide Seiten linear und auch mit der Multiplikation mit Funktionen verträglich.