Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch/Definition

Metrischer Zusammenhang

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben. Der Zusammenhang heißt metrisch, wenn

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

für stetig differenzierbare Vektorfelder ${}V,W,Z$ auf jeder offenen Menge gilt.