Wegen der Torsionsfreiheit gilt
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![{\displaystyle {}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d51684811be91d2476fa45b3707853400f040c9)
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![{\displaystyle {}\nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V=[V,Z]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b43ca0a181b29d47810b34e9d0f256114aa0a27)
und
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![{\displaystyle {}\nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W=[W,Z]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6a6b48c4fe1406ded6cc12c2ecaffb77df2992)
wobei wir die erste Identität auch als
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![{\displaystyle {}\nabla _{V}W+\nabla _{W}V=2\nabla _{V}W-[V,W]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50225c29d90d9f17343eadeaa1f1ebfcb8292964)
auffassen. Wegen metrisch gelten die Identitäten
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![{\displaystyle {}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6823063ee1ff3bc91868ac856e51503956fb16e3)
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![{\displaystyle {}D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle =\left\langle \nabla _{W}Z,V\right\rangle +\left\langle Z,\nabla _{W}V\right\rangle \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b93ed2b380862341534f32a1f9a6c9c5ca2e83)
und
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![{\displaystyle {}D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{Z}V,W\right\rangle +\left\langle V,\nabla _{Z}W\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef59b9715a8a9e394db92ddfd4c810ccfb2ebad)
Wir addieren die Gleichungen zusammen und erhalten
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![{\displaystyle D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W+\nabla _{W}V,Z\right\rangle +\left\langle \nabla _{W}Z-\nabla _{Z}W,V\right\rangle +\left\langle \nabla _{V}Z-\nabla _{Z}V,W\right\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb2f76db1cb2e5e3669e5cb9c883ae6af45b109)
In die rechte Seite setzen wir die oben erzielten Ausdrücke ein und erhalten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle +D_{W}\left\langle Z,V\right\rangle -D_{Z}\left\langle V,W\right\rangle &=\left\langle 2\nabla _{V}W-[V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle \\&=2\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle -\left\langle [V,W],Z\right\rangle +\left\langle [W,Z],V\right\rangle +\left\langle [V,Z],W\right\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0250119658bbc98d6c5483317b937de43f8d08a)
Eine Umstellung ergibt die Formel.
Aufgrund der Gleichung ist
![{\displaystyle {}\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ac8774f087ab2c48b6d94ecfa37c6713f6964d)
für beliebige Vektorfelder durch die rechte Seite festgelegt, in der der Zusammenhang gar nicht vorkommt. Da dies für jedes Vektorfeld
![{\displaystyle {}Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f667add8d535a28b981095d23456f85a6ff293)
gilt, ist dadurch auch die vertikale Ableitung
![{\displaystyle {}\nabla _{V}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac6e78fbd9d3d5775c5efbec4a10117ae2198dd)
und damit der lineare Zusammenhang eindeutig festgelegt.