Riemannsche Mannigfaltigkeit/Zweidimensional/Levi-Civita-Zusammenhang/Christoffelsymbole/Beziehung/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen versehen mit einer durch differenzierbare Funktionen

$g_{11},g_{12},g_{22}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

gegebenen riemannschen Struktur mit der inversen Matrix ${}{\left(g^{kl}\right)}$.

Dann sind die Christoffelsymbole für den Levi-Civita-Zusammenhang auf ${}U$ gleich

$\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}\,.$

Wenn ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte zweifach stetig differenzierbare Fläche ist und mit der durch den umgebenden Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ induzierten riemannschen Struktur versehen wird, und

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, eine lokale zweifach differenzierbare Parametrisierung von ${}Y$ ist, so stimmen diese Christoffelsymbole mit den mit Hilfe des umgebenden Raumes definierten Christoffelsymbolen überein.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen