Riemannscher Abbildungssatz/Große Version/Bemerkung

Der riemannsche Abbildungssatz besitzt eine Verallgemeinerung, den großen riemannschen Abbildungssatz. Dabei geht es um sogenannte riemannsche Flächen, also eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, wozu offene Teilmengen von ${}{\mathbb {C} }$ gehören. Er besagt, dass es vom Holomorphietyp her nur drei einfach zusammenhängende riemannsche Flächen gibt, nämlich ${}{\mathbb {C} }$, die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ und die riemannsche Zahlenkugel ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, das ist einfach die reell zweidimensionale Sphäre mit der (eindeutig bestimmten) komplexen Struktur. Letztere ist eine kompakte riemannsche Fläche und insbesondere nicht innerhalb von ${}{\mathbb {C} }$ realisierbar. Für den einfachen Zusammenhang der Sphäre vergleiche Aufgabe. Der darauf aufbauende Uniformisierungssatz besagt, dass die universelle Überlagerung einer zusammenhängenden riemannschen Fläche existiert, eine einfach zusammenhängende riemannsche Fläche ist und somit eine der drei Möglichkeiten ist.