Ring/Einheit/Einführung/Textabschnitt


Ein Element in einem Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit

gibt.

Das Element mit der Eigenschaft ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch die Eigenschaft , so ist

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte mit nennt man das (multiplikativ) Inverse zu und bezeichnet es mit

oder auch mit . Im kommutativen Fall muss man natürlich nur die Eigenschaft überprüfen. Eine Einheit ist stets ein Nichtnullteiler. Aus folgt ja sofort (unter Verwendung von Fakt  (1)) .


Die Einheitengruppe in einem Ring ist die Teilmenge aller Einheiten in . Sie wird mit bezeichnet.

Die Menge aller Einheiten in einem Ring bilden in der Tat eine Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit als neutralem Element). Wenn nämlich und die Inversen und haben, so ist das Inverse von gleich und somit ist das Produkt von zwei Einheiten wieder eine Einheit.

Zu einer Einheit machen auch Potenzen mit einem negativen Exponenten Sinn, d.h. es ist dann für alle definiert. Die Zahl (also das Negative zu ) ist stets eine Einheit, da ja (nach Fakt  (3)) ist. Bei besteht die Einheitengruppe aus diesen beiden Elementen, also . Die Null ist mit der Ausnahme des Nullrings nie eine Einheit.


Wir betrachten den Ring . Die Elemente und sind wie in jedem Ring Einheiten. Wegen

sind und invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also .

Bei sind wieder und Einheiten. Ferner sind wegen

und

auch und Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten.


Für eine Einheit ist auch die Bruchschreibweise erlaubt und gebräuchlich. D.h. wenn eine Einheit ist und beliebig, so setzt man

Wie gesagt, der Nenner muss eine Einheit sein!