Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Tangentialraum/Fakt

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Dann besitzt die Rotationsfläche ${}Y$ (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}Y$ die Nullstellenmenge zu

   $h\colon I\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto y^{2}+z^{2}-f(x)^{2}.$

2. Die beschreibende Funktion ${}h$ ist in jedem Punkt von ${}Y$ regulär.
3. Der Tangentialraum von ${}Y$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)$ ist (bei ${}z\neq 0$)

   ${}T_{P}Y=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\z\\-y\end{pmatrix}}+\mathbb {R} {\begin{pmatrix}z\\0\\f(x)f'(x)\end{pmatrix}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen