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Rotationskörper/0 bis 1/t+sqrt(t)+1/Aufgabe/Lösung
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Rotationskörper/0 bis 1/t+sqrt(t)+1/Aufgabe
Das Volumen des Rotationskörpers
K
{\displaystyle {}K}
ist gemäß der Formel gleich
λ
3
(
K
)
=
π
∫
0
1
(
t
+
t
+
1
)
2
d
t
=
π
∫
0
1
(
t
2
+
t
+
1
+
2
t
3
/
2
+
2
t
+
2
t
1
/
2
)
d
t
=
π
∫
0
1
(
t
2
+
2
t
3
/
2
+
3
t
+
2
t
1
/
2
+
1
)
d
t
=
π
(
1
3
t
3
+
4
5
t
5
/
2
+
3
2
t
2
+
4
3
t
3
/
2
+
t
)
|
0
1
=
π
(
1
3
+
4
5
+
3
2
+
4
3
+
1
)
=
π
10
+
24
+
45
+
40
+
30
30
=
π
149
30
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\lambda ^{3}(K)&=\pi \int _{0}^{1}(t+{\sqrt {t}}+1)^{2}\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+t+1+2t^{3/2}+2t+2t^{1/2})\,dt\\&=\pi \int _{0}^{1}(t^{2}+2t^{3/2}+3t+2t^{1/2}+1)\,dt\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {4}{5}}t^{5/2}+{\frac {3}{2}}t^{2}+{\frac {4}{3}}t^{3/2}+t\right)}|_{0}^{1}\\&=\pi {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}+1\right)}\\&=\pi {\frac {10+24+45+40+30}{30}}\\&=\pi {\frac {149}{30}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe