S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe/Lösung

Als Antipodenabbildung erhalten wir die Matrix

.

Folglich ist die Determinante von genau -1, also


und somit ist  nicht orientierunstreu.

Insbesondere erhalten wir daraus, dass genau dann orientierunstreu ist, wenn ungerade ist.