S^2/Lokal konstante Garbe/Erste und zweite Cech-Kohomologie/Aufgabe/Lösung

Der Čech-Komplex ist gleich

$\oplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathcal {G}})\cong G^{3}\longrightarrow \oplus _{i<j}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathcal {G}})\cong G^{3}\longrightarrow \Gamma (U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathcal {G}})\cong G^{2}\longrightarrow 0.$

Die vordere Abbildung ist ${}(a,b,c)\mapsto (b-a,c-b,c-a)$. Die hintere Abbildung ist ${}(r,s,t)\mapsto (t-s+r)$, insbesondere stimmen im Bild die Werte auf den beiden Komponenten überein. Deshalb ist

${}{\check {H}}^{1}(U_{i},{\mathcal {G}},)=0\,$

und

${}{\check {H}}^{2}(U_{i},{\mathcal {G}},)=G\,.$

Zur gelösten Aufgabe