SU2C nach SO3R/Komplexe Konjugation/Konjugation mit Spiegelungsmatrix/Aufgabe

Zeige, dass die (komponentenweise) komplexe Konjugation einen Gruppenautomorphismus auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ induziert, der unter der in Fakt beschriebenen Abbildung

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

mit der Konjugation mit ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

auf ${}\operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ verträglich ist. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation auf ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ auch als Konjugation mit der Matrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ realisiert werden kann.

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