SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt

Satz über die Überlagerung der Raumgruppe

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)},$

dessen Kern gleich

$\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\}$

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit $u=a+b{\mathrm {i} }$ und $v=c+d{\mathrm {i} }$ unter der Bedingung $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$) durch

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(-ad+bc)&2(ac+bd)\\2(ad+bc)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(-ab+cd)\\2(-ac+bd)&2(ab+cd)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}}$

realisiert werden.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen