SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\longrightarrow S^{2}$

die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der ${}2$-Sphäre ${}S^{2}$. Durch

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(S^{2}\right)},\,\sigma \longmapsto \varphi ^{-1}\sigma \circ \varphi ,$

erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen (also der Homöomorphismen) der Sphäre. Eine explizite Rechnung für ${}\sigma \in \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt.
Zur Surjektivität. Für ${}v=0$ und ${}u=a+b{\mathrm {i} }$ mit ${}a^{2}+b^{2}=1$ geht die Matrix links auf

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a^{2}-b^{2}&-2ab\\0&2ab&a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$

Wenn man ${}s=\cos \alpha$ und ${}t=\sin \alpha$ vorgibt und ${}a={\frac {\sqrt {s+1}}{\sqrt {2}}}$ und ${}b=\pm {\frac {\sqrt {1-s}}{\sqrt {2}}}$ setzt (das Vorzeichen ist geeignet zu wählen), so wird die Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}},$

d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel ${}\alpha$ um die ${}x$-Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von ${}a,b,c,d$ ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach Aufgabe lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv.
Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen ${}bc=bd=cd=0$. Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung ${}b^{2}=c^{2}=d^{2}=0$, woraus insgesamt ${}b=c=d=0$ folgt. Die Bedingung ${}a^{2}=1$ führt dann zu den beiden Elementen im Kern.

Zur bewiesenen Aussage