Satz über implizite Abbildungen/R/2 nach 1/Fakt

Der Satz über implizite Abbildungen

Sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Abbildung, sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$. Die Jacobimatrix ${}\left(\partial _{1}\varphi (P),\,\partial _{2}\varphi (P)\right)$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$, ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, ein offenes Intervall ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{1}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

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