Satz über implizite Abbildungen/R/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(0)$ die Faser über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$, und ${}\varphi$ sei in jedem Punkt der Faser regulär. Es seien ${}W\subseteq G$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-\ell }$ offen und es sei

$\theta \colon V\longrightarrow W$

eine lokale Beschreibung der Faser gemäß

dem Satz über implizite Abbildungen.

Dann ist die Abbildung

$V\times \mathbb {R} ^{n-\ell }\longrightarrow {\left\{(P,u)\mid P\in Z\cap W,\,u\in \operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}\right\}},\,(x,v)\longmapsto (\theta (x),{\left(D\theta \right)}_{x}{\left(v\right)}),$

eine Homöomorphie, wobei die Menge rechts als Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ aufgefasst wird.

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