Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel

Es seien ${}F,G\in K[X]$ verschiedene Polynome vom Grad ${}d\geq e\geq 1$ und seien

${}C=V_{+}{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}\,$

und

${}D=V_{+}{\left(YZ^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}\,$

die projektiven Abschlüsse der zugehörigen Graphen gemäß Fakt. Die Schnittpunkte von ${}C$ und ${}D$ in

${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}\cong D_{+}(Z)\,$

sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von ${}F-G$ bestimmt. Dabei gibt es maximal ${}d$ Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt (bei ${}d>e$ ist die Multiplizitätensummen genau gleich ${}d$). Sei ${}e\geq 2$. Nach Fakt gehört zu beiden Kurven auf ${}V_{+}(Z)$ noch der Punkt ${}(0,1,0)$, dort muss also eine „hohe“ Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im Satz von Bezout zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in

${}D_{+}(Y)\cong {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

sind ${}Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)$ bzw. ${}Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)$. Wir müssen die ${}K$-Dimension des Restklassenrings

$K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left(Z^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z),Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}$

berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu

$K[X,Z]_{(X,Z)}/{\left({\hat {F}}(X,Z)-Z^{d-e}{\hat {G}},Z^{e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}.$

Die linke Gleichung ist homogen vom Grad ${}d$ und ${}X^{d}$ kommt darin vor (es sei nun ${}d>e$), sodass wir damit ${}X^{d}$ durch „kleinere“ Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf

${}Z^{e-1}(1-\beta _{e}Z-\beta _{e-1}X)=\sum _{i+j=e,\,i\geq 2}\beta _{j}X^{i}Z^{j}\,.$

Da ${}1-\beta _{e}Z^{e}-\beta _{e-1}X$ im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit ${}Z^{e-1}$ durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist

$X^{i}Z^{j},0\leq i<d,0\leq j<e-1,$

eine ${}K$-Basis des Restklassenrings, bestehend aus ${}d(e-1)$ Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also ${}d(e-1)$, und somit gilt ${}d(e-1)+d=de$.