Satz von Bezout/Neilsche Parabel/Kreis/Aufgabe/Lösung

Die homogene Gleichung der Neilschen Parabel ist ${}Y^{2}Z-X^{3}=0$. Die Kreisgleichung ist

${}(X-1)^{2}+Y^{2}-1=X^{2}-2X+Y^{2}=0\,,$

die Homogenisierung davon ist

${}X^{2}-2XZ+Y^{2}=0\,.$

Zur Berechnung der Schnittpunkte betrachten wir zunächst ${}D_{+}(Z)$, also die affine Ausgangssituation. Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

${}0=X^{3}+X^{2}-2X=X(X^{2}+X-2)\,.$

Also ist ${}X=0$, was den Punkt ${}(0,0)$ ergibt, oder

${}X={\frac {\pm {\sqrt {7}}{\mathrm {i} }-1}{2}}\,.$

Zu jedem dieser zwei Werte gehören jeweils zwei komplexe Lösungen für ${}Y$, sodass es hier neben ${}(0,0)$ noch vier weitere Schnittpunkte gibt. Da in ${}(0,0)$ die Neilsche Parabel eine Singularität besitzt, ist dort nach Fakt

die Schnittmultiplizität zumindest ${}2$. Da die Summe über alle Schnittmultiplizitäten nach dem Satz von Bezout gleich ${}6$ ist, ergibt sich, dass in diesem Punkt die Schnittmultiplizität genau ${}2$ ist und in den vier weiteren Schnittpunkten die Schnittmultiplizität gleich ${}1$ ist. Es folgt insbesondere, dass es auf ${}V_{+}(Z)$ keine weiteren Schnittpunkte gibt.

Zur gelösten Aufgabe