Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel

Wir betrachten die Neilsche Parabel ${}C=V_{+}{\left(ZY^{2}-X^{3}\right)}$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}(1,0,1)$, also ${}D=V_{+}{\left((X-Z)^{2}+Y^{2}-Z^{2}\right)}$. Nach dem Satz von Bezout erwarten wir eine Gesamtschnittzahl von ${}6$. Wir berechnen die Schnittpunkte. Für ${}Z=0$ folgt aus der ersten Gleichung ${}X=0$ und dann aus der zweiten ${}Y=0$, sodass es keinen Schnittpunkt auf der projektiven Geraden ${}V_{+}(Z)$ gibt. Wir betrachten daher die affinen Gleichungen $Y^{2}-X^{3}=0$ und $(X-1)^{2}+Y^{2}-1=0$. Wir berechnen die Schnittpunkte, indem wir ${}Y^{2}=1-(X-1)^{2}$ in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt

${}1-(X-1)^{2}-X^{3}=-X^{3}-X^{2}+2X=X{\left(-X^{2}-X+2\right)}=-X(X-1)(X+2)\,.$

Dies führt zu den Schnittpunkten

$(0,0),(1,1),(1,-1),{\left(-2,2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)},{\left(-2,-2{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}.$

Die beiden letzten Punkte zeigen auch, dass der Satz nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt. Es gibt also nur ${}5$ Schnittpunkte. Da die Neilsche Parabel im Nullpunkt eine Singularität besitzt und dieser ein Schnittpunkt ist, so muss dort die Schnittmultiplizität größer als ${}1$ sein. Um dies zu bestätigen betrachten wir

${}{\begin{aligned}K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},Y^{2}-1+(X-1)^{2}\right)}&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X(X-1)(X+2)\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2}-X^{3},X\right)}\\&=K[X,Y]_{(X,Y)}/{\left(Y^{2},X\right)}\\&=K[Y]/(Y^{2}).\end{aligned}}$

Dabei haben wir die Einsetzungsrechnung von oben wiederholt und dann ausgenutzt, dass $X-1$ und $X+2$ Einheiten im lokalen Ring ${}K[X,Y]_{(X,Y)}$ sind. Die Dimension ist also ${}2$ und damit muss die Schnittmultiplizität an allen anderen Schnittpunkten ${}1$ sein, was man auch direkt bestätigen kann.