Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf das Vektorfeld

${}F(x,y)=\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,$

an. Der Integrand im Doppelintegral ist dann

${}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}y}}=\triangle u\,.$

Zur bewiesenen Aussage