Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Lokal frei/Fakt/Beweis

Beweis

Durch die Addition

$V\times _{X}V\longrightarrow V$

gibt es aufgrund von Aufgabe eine wohldefinierte Addition auf der Garbe der Schnitte, wodurch ${}{\mathcal {F}}$ wegen Aufgabe zu einer Garbe von kommutativen Gruppen wird. Durch die Skalarmultipliaktion

${\mathbb {A} }_{X}^{1}\times _{X}V\longrightarrow V$

erhält man eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulstruktur auf ${}{\mathcal {F}}$. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit ${}V{|}_{U}\cong {{\mathbb {A} }_{}^{r}}_{U}$ ist

${}{\mathcal {F}}{|}_{U}\cong {\left({\mathcal {O}}_{X}{|}_{U}\right)}^{r}\,$

und ${}{\mathcal {F}}$ ist lokal frei.

Zur bewiesenen Aussage