Schema/Topologische Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Raum ${}V$ heißt irreduzibel, wenn ${}V\neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung ${}V=Y\cup Z$ mit abgeschlossenen Mengen ${}Y,Z\subset V$ gibt.

Lemma

Ein topologischer Raum ${}X\neq \emptyset$ ist genau dann irreduzibel,

wenn für nichtleere offene Teilmengen ${}U,V\subseteq X$ auch der Durchschnitt ${}U\cap V$ nicht leer ist.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus der Definition, da für die abgeschlossenen Teilmengen ${}Y=X\setminus U$ und ${}Z=X\setminus V$ die Beziehung ${}X=Y\cup Z$ genau dann gilt, wenn ${}U\cap V=\emptyset$ ist.

$\Box$

Lemma

Schema/Punkt/Irreduzible Teilmenge/Filter/Fakt

Beweis

Schema/Punkt/Irreduzible Teilmenge/Filter/Fakt/Beweis

$\Box$

Definition

Zu einem irreduziblen Schema nennt man denjenigen Punkt, der in allen nichtleeren offenen Teilmengen enthalten ist, den generischen Punkt von ${}X$.