Schemamorphismus/Picardgruppe/Funktoriell/Cech-Beschreibung/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ ein Schemamorphismus. Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Pic} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {Pic} {\left(X\right)},\,{\mathcal {L}}\longmapsto \varphi ^{*}{\mathcal {L}},$

mit Hilfe der Kozykelbeschreibung aus Bemerkung folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel ${}r_{ij}\in \left(\Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, zu einer offenen Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ wird der Kozykel ${}\theta _{ij}(r_{ij})\in \left(\Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}\right)^{\times }$, ${}i<j$, bezüglich der Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}\varphi ^{-1}(V_{i})$ zugeordnet, wobei die

$\theta _{ij}\colon \Gamma {\left(V_{i}\cap V_{j},{\mathcal {O}}_{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j}),{\mathcal {O}}_{X}\right)}$

die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen.

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