Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der Durchschnitt ${}C\cap D$ besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher nach Aufgabe annehmen, dass alle Schnittpunkte in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ liegen. Es seien ${\tilde {F}}$ und ${\tilde {G}}$ die inhomogenen Polynome aus ${}K[X,Y]$, die die affinen Kurven $C\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ und $D\cap {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ beschreiben. Damit ist

${}{\begin{aligned}\sum _{P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}(F,G)&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\operatorname {mult} _{P}({\tilde {F}},{\tilde {G}})\\&=\sum _{P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}}\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}\\&=\dim _{K}{\left(K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})\right)}.\end{aligned}}$

Dabei beruht die letzte Gleichung auf Fakt. Wir wollen die ${}K$-Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings ${}(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von Fakt, dass sie für ${}\ell$ hinreichend groß gleich ${}mn$ ist.

Wir wählen eine Basis ${}V_{1},\ldots ,V_{mn}$ von ${}(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }$ (${}\ell$ hinreichend groß und fixiert) und behaupten, dass die Dehomogenisierungen ${}v_{i}=V_{i}(X,Y,1)$ eine Basis von ${}K[X,Y]/({\tilde {F}},{\tilde {G}})$ bilden. Dazu sei ${}q\in K[X,Y]$ beliebig vorgegeben mit Homogenisierung ${}Q\in K[X,Y,Z]$ vom Grad ${}d$. Es sei ${}e$ so gewählt, dass ${}d+e\geq \ell$ ist. Aufgrund von Fakt sind die Abbildungen ($\lambda \geq 1$)

$(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell }\longrightarrow (K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell +\lambda },\,H\longmapsto Z^{\lambda }H,$

injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die ${}Z^{\lambda }V_{i}$, ${}i=1,\ldots ,mn$, eine Basis von ${}{\left(K[X,Y,Z]/(F,G)\right)}_{\ell +\lambda }$. Es gibt dann also eine Darstellung ${}Z^{e}Q=\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{d+e-\ell }V_{i}$. Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für ${}q$.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

${}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}=0\,$

angenommen, sodass in ${}K[X,Y]$ eine Gleichung

${}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}v_{i}={\tilde {A}}{\tilde {F}}+{\tilde {B}}{\tilde {G}}\,$

vorliegt. Dabei setzen wir ${}{\tilde {A}},{\tilde {B}}$ als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen ${}A,B\in K[X,Y,Z]$ an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke - nämlich $\sum _{i=1}^{mn}a_{i}V_{i}$ und $AF+BG$ - vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von ${}r,s,t$ können wir annehmen, dass ${}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}$ und ${}Z^{s}AF+Z^{t}BG$ (homogen sind und) den gleichen Grad besitzen. Nach Aufgabe ist dann bereits

${}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=Z^{s}AF+Z^{t}BG\,.$

Diese Gleichung bedeutet ${}\sum _{i=1}^{mn}a_{i}Z^{r}V_{i}=0$ in ${}K[X,Y,Z]/(F,G)$, woraus sich ${}a_{i}=0$

ergibt.

Zur gelösten Aufgabe