Schokolade/Teilung/Brechungstiefe/Aufgabe

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Stücke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Stücken besteht. Bei einer gegebenen vollständigen Aufteilung ${}A$ einer Schokolade kann man sich für jedes Stück ${}s$ fragen, wie oft es bei einem Teilungsschritt der Aufteilung beteiligt war. Diese Zahl nennen wir die Aufteilungstiefe von ${}s$. Die Summe aller Aufteilungstiefen zu allen Stücken nennen wir die Gesamtaufteilungstiefe der Aufteilung.

1. Es sei eine ${}4\times 4$-Schokolade gegeben. Zeige, dass es eine vollständig Aufteilung gibt, bei der jedes Stück die Aufspaltungstiefe ${}4$ besitzt.
2. Wir betrachten ein Eckstück einer ${}4\times 4$-Schokolade. Was ist seine minimale Aufteilungstiefe und was ist seine maximale Aufteilungstiefe?
3. Hängt für eine fixierte Schokolade die Gesamtaufteilungstiefe von der Aufteilung ab?

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