Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn für ein ${}k$ der Rest ${}r_{-k}=0$ ist, so sind auch alle weiteren Reste und damit auch die Ziffern gleich ${}0$, sodass eine Periodenlänge ${}\ell =1$ vorliegt. Nehmen wir also an, dass alle Reste ${}r_{-i}$ von ${}0$ verschieden sind. Da die Reste

$r_{-1},r_{-2},r_{-3}$

allesamt zwischen ${}1$ und ${}b-1$ liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass

${}r_{-k-\ell }=r_{-k}\,$

gilt. Da ${}z_{-i-1}$ und ${}r_{-i-1}$ für alle ${}i$ allein von ${}r_{-i}$ abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge

$r_{-k},r_{-k-1},\ldots ,r_{-k-\ell +1}\,\,{\text{ bzw. }}\,\,z_{-k},z_{-k-1},\ldots ,z_{-k-\ell +1}$

unendlich oft periodisch.

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