Schwerpunkt/Intervall mit Funktion/Subgraph/Aufgabe/Lösung

Das Volumen der Massenverteilung auf dem Intervall ist ${}\int _{a}^{b}f(x)dx$, das stimmt mit dem Flächeninhalt des Subgraphen überein. Der Schwerpunkt des Intervalls zur Massenverteilung ${}f$ ist nach Definition

${\frac {\int _{a}^{b}x{f(x)}dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}.$

Der geometrische Schwerpunkt des Subgraphen ${}T$ besitzt die ${}x$-Koordinate

${}{\begin{aligned}{\frac {\int _{T}xd\lambda ^{2}}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}&={\frac {\int _{a}^{b}\int _{0}^{f(x)}xdydx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}\\&={\frac {\int _{a}^{b}{\left(xy\right)}_{0}^{f(x)}dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}\\&={\frac {\int _{a}^{b}xf(x)dx}{\int _{a}^{b}f(x)dx}}.\end{aligned}}$

Die beiden Ausdrücke stimmen also überein.

Zur gelösten Aufgabe