Schwerpunkt/Zwei Mengen/Nullmengenschnitt/Aufgabe/Lösung

Die ${}i$ -te Koordinate des Schwerpunktes von ${}S\cup T$ ist unter Verwendung von Fakt (3)

{}{\begin{aligned}{\frac {\int _{S\cup T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S\cup T)}}&={\frac {\int _{S\cup T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}+\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}+{\frac {\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot {\frac {\int _{S}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot {\frac {\int _{T}x_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(T)}}\\&={\frac {\lambda ^{n}(S)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot P_{i}+{\frac {\lambda ^{n}(T)}{\lambda ^{n}(S)+\lambda ^{n}(T)}}\cdot Q_{i},\end{aligned}}

wobei ${}P_{i}$ (bzw. ${}Q_{i}$ ) die ${}i$ -te Koordinate von ${}P$ (bzw. ${}Q$ )

bezeichnet.