Semivariogramm

Semivariogramme werden in der Geostatistik benutzt um räumliche Strukturen von Messdaten zu erfassen. Sie werden gebraucht um Wichtungsfaktoren für die affine Linearkombination beim Kriging zu bestimmen. Ist ein Zufallsfeld Z gegeben, dann ist das Semivariogramm $\gamma$ durch die Varianz wie folgt definiert:

$\gamma ({\boldsymbol {s}}_{i},{\boldsymbol {s}}_{j})={\dfrac {1}{2}}V\left(Z({\boldsymbol {s}}_{i})-Z({\boldsymbol {s}}_{j})\right)$.

Ist das Zufallsfeld zusäztlich stationär zweiter Ordnung gilt:

$\gamma ({\boldsymbol {s}}_{i},{\boldsymbol {s}}_{i}+{\boldsymbol {h}})=\gamma ({\boldsymbol {h}})$

Die Darstellung der räumlichen Struktur wird meistens in Form einer Punktwolke (Semivariogram cloud) beschrieben. Das entsprechende Semivariogramm hierfür lautet:

${\tilde {\gamma }}({\boldsymbol {h}})={\frac {\left(z({\boldsymbol {s}}_{i}+{\boldsymbol {h}})-z({\boldsymbol {s}}_{i})\right)^{2}}{2}}$, wobei $z({\boldsymbol {s}}_{i})$ der Messwert am Ort ${\boldsymbol {s}}_{i}$ ist.

Das empirische Semivariogramm

Das empirische Semivariogramm geht aus der Semivariogram cloud hervor. Dabei werden sogenannte Distance Lags eingeführt, die die Wertepaare mit ähnlicher Distanz zueinander einem Vektor ${\boldsymbol {h}}$ zuordnen (bei Isotropie braucht nur $|{\boldsymbol {h}}|$ betrachtet zu werden was einer reellwertigen Distanz $h$ entspricht). Diese $N({\boldsymbol {h}})$ Wertepaare werden dann gemittelt. Das empirische Semivariogramm ergibt sich somit als Schätzer durch die Momentenmethode:

${\hat {\gamma }}({\boldsymbol {h}})={\frac {1}{2\#N({\boldsymbol {h}})}}{\underset {N({\boldsymbol {h}})}{\sum }}\left(z({\boldsymbol {s}}_{i}+{\boldsymbol {h}})-z({\boldsymbol {s}}_{i})\right)^{2}$

Theoretische Semivariogramme

Theoretische Semivariogramme sind Modellfunktionen, die die Eigenschaften eines Semivariogramms haben (die Eigenschaften ergeben sich aus den Eigenschaften des Zufallsfeldes, meist wird intrinsisch oder stationär zweiter Ordnung gefordert, und der Ortsunabhängigkeit der Covarianz). Bekannte Modellfunktionen sind:

1. Das sphärische Modell

Das sphärische Modell ist definiert durch: $\gamma (|{\boldsymbol {h}}|)={\begin{cases}m\left(1.5{\frac {|{\boldsymbol {h}}|}{a}}-0.5\left({\frac {|{\boldsymbol {h}}|}{a}}\right)^{3}\right)&{\textrm {falls}}\,|{\boldsymbol {h}}|\leq a\\m&{\textrm {falls}}\,|{\boldsymbol {h}}|>a\end{cases}};m=C({\boldsymbol {0}})$

2. Das gaußsche Modell (auch Gaußmodell)

Das Gaußmodell ist definiert durch: $\gamma (|{\boldsymbol {h}}|)=m\left(1-{\textrm {exp}}\left(-{\frac {|{\boldsymbol {h}}|^{2}}{a^{2}}}\right)\right);m=C({\boldsymbol {0}})$

3. Das power Modell

Das power Modell ist definiert durch: $\gamma (|{\boldsymbol {h}}|)=|{\boldsymbol {h}}|^{\alpha }$, mit $0<\alpha <2$

Literatur

• Montero, J., Fernández-Avilés, G., Mateu, J. Spatial and Spatio-Temporal Geostatistical Modeling and Kriging. John Wiley & Sons Ltd., West Sussex, England, 2015. doi:10.1002/978-1-118-76238-7.