Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Dies folgt aus Fakt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Nehmen wir an, dass ${}P$ und ${}P'$ einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in ${}K[X]$ besitzen. Dies ist dann auch in ${}L[X]$ der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von ${}P$ auch ein Teiler von ${}P'$ ist. Daher besitzen ${}P$ und ${}P'$ eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt ${}P$ eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Dies folgt aus Fakt.
${}(4)\Rightarrow (1)$. Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, so dass ${}P\in L[X]$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man ${}1$ in ${}K[X]$ als Linearkombination von ${}P$ und ${}P'$ darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf ${}L[X]$. Wenn ${}P$ in ${}L$ eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der ${}1$ nicht sein.

Zur bewiesenen Aussage