Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis
Beweis
. Dies folgt aus
Fakt.
. Nehmen wir an, dass
und
einen gemeinsamen nichttrivialen Teiler in besitzen. Dies ist dann auch in der Fall. Dies bedeutet wiederum, dass ein Linearfaktor von auch ein Teiler von ist. Daher besitzen
und
eine gemeinsame Nullstelle und somit besitzt eine mehrfache Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.
. Dies folgt aus
Fakt.
. Es sei
eine Körpererweiterung derart, dass
in Linearfaktoren zerfällt. Nach Voraussetzung kann man in als Linearkombination von
und
darstellen. Diese Eigenschaft überträgt sich direkt auf . Wenn in eine mehrfache Nullstelle hätte, so wäre diese Nullstelle auch eine Nullstelle der Ableitung. Das kann aber wegen der Darstellbarkeit der nicht sein.