Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}\varphi$ ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$. Für diese ist dann

${}{\begin{aligned}\Psi (u_{i},u_{j})&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \lambda _{i}u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\lambda _{i}\left\langle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$

für ${}i\neq j$. Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für ${}\Psi$ und somit ist ${}\Psi$ orthogonalisierbar.

Es sei umgekehrt ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für ${}\Psi$ erfüllt. Es sei ${}\Psi =\Psi _{\varphi }$. Wir machen den Ansatz

${}\varphi (u_{i})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k}\,.$

Für alle ${}j\neq i$ ist

${}{\begin{aligned}0&=\Psi (u_{i},u_{j})\\&=\left\langle \varphi (u_{i}),u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}\left\langle a_{k}u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle \\&=a_{j}.\end{aligned}}$

Somit ist

${}\varphi (u_{i})=a_{i}u_{i}\,$

und die ${}u_{i}$ sind Eigenvektoren zu ${}\varphi$. Somit besitzt ${}\varphi$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt

normal.

Zur gelösten Aufgabe