Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe/Lösung


Wenn ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt eine Orthonormalbasis zu aus Eigenvektoren zu . Für diese ist dann

für . Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für und somit ist orthogonalisierbar.

Es sei umgekehrt eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für erfüllt. Es sei . Wir machen den Ansatz

Für alle ist

Somit ist

und die sind Eigenvektoren zu . Somit besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt

normal.