Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Wir nennen eine Sesquilinearform ${}\Psi$ auf ${}V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von ${}V$ mit

${}\Psi (u_{i},u_{j})=0\,$

für alle ${}i\neq j$ gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$

die normalen Endomorphismen

den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

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