(1) folgt direkt aus der Messbarkeit der Inklusionen
-
für jedes
.
(2) folgt aus
Fakt
angewendet auf
-
![{\displaystyle {}S(f)\subseteq M\times (N\times {\overline {\mathbb {R} }})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6fc01ccac6cfad6b9f12cc470ffe4fccc381f6)
da
der Subgraph von
und
ist.
(3). Nach
Fakt,
angewendet auf das Produkt
, ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{M\times N}f\,d(\mu \otimes \nu )&={\left(\mu \otimes \nu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\\&=\int _{M}{\left(\nu \otimes \lambda ^{1}\right)}{\left((S(f))(x)\right)}\,d\mu \\&=\int _{M}\left(\int _{N}f(x,y)\,d\nu \right)\,d\mu .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1e3fdf99a85cc285b414ef05fda89299f107e6)
Da man die Rollen von
und
vertauschen kann, ergibt sich auch die andere Darstellung.