Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Einführung/Textabschnitt

Wir interessieren uns nun dafür, wie sich die zu einem simplizialen Komplex gegebene Achsenraumkonfiguration als Nullstellenmenge von Funktionen beschreiben lässt. Beispielsweise ist das Achsenkreuz die Nullstellenmenge der Funktion ${}XY$ und die Vereinigung der drei Achsenebenen im Raum ist die Nullstellenmenge der Funktion ${}XYZ$ . Betrachten wir eine einzelne Seite des Komplexes, sagen wir ${}F\subseteq V$ , ${}F\in \Delta$ . Dann ist ${}K^{F}\subseteq K^{V}$ eine Achsenraum, der zu der zugehörigen Achsenraumkonfiguration gehört. Das Variablenprodukt ${}\prod _{i\in F}X_{i}$ ist eine Funktion auf dem ${}K^{V}$ , das auf diesem Teilraum nicht identisch verschwindet (wohl aber Nullstellen hat), da es ja auf allen ${}V$ -Tupeln, deren ${}F$ -Einträge alle von ${}0$ verschieden sind, einen von ${}0$ verschiedenen Wert annimmt. Damit ist dieses Variablenprodukt erst recht nicht auf der gesamten Achsenraumkonfiguration gleich ${}0$ . Wenn hingegen ${}A\subseteq \Delta$ eine Nichtseite des Komplexes ist, so verschwindet das Variablenprodukt ${}\prod _{i\in A}X_{i}$ auf der Achsenraumkonfiguration, wie das folgende Lemma zeigt.

Lemma

Zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$

wird die zugehörige Achsenraumkonfiguration als Nullstellenmenge von allen Variablenprodukten zu Nichtseiten beschrieben, also

${}\Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}=V{\left(\prod _{v\in A}X_{v}{|}A{\text{ Nichtseite von }}\Delta \right)}\,.$

Dabei kann man sich auf die minimalen Nichtseiten beschränken.

Beweis

Nach Fakt ist

{}{\begin{aligned}V{\left(\prod _{v\in A}X_{v}{|}A{\text{ Nichtseite von }}\Delta \right)}&=\bigcap _{A{\text{ Nichtseite von }}\Delta }V(\prod _{v\in A}X_{v})\\&=\bigcap _{A{\text{ Nichtseite von }}\Delta }\bigcup _{v\in A}V(X_{v}).\end{aligned}}

Wenn ${}P\in K^{F}$ mit einer Seite ${}F$ von ${}\Delta$ ist, so sind sämtliche Koordinaten von ${}P$ , die nicht zu ${}F$ gehören, gleich ${}0$ . Wir können annehmen, dass ${}F$ eine Facette ist. Es sei ${}A$ eine Nichtseite. Dann ist ${}A\not \subseteq F$ und somit gibt es eine Ecke ${}z\in A$ , ${}z\notin F$ . Dann ist die ${}z$ -te Komponente von ${}P$ gleich ${}0$ und somit ${}P\in V(X_{z})$ und ${}P$ gehört zur rechten Seite dazu. Es sei nun umgekehrt

{}P=(x_{v})\notin \bigcup _{F\in \Delta }K^{F}\,

angenommen. Es sei ${}B\subseteq V$ der Träger von ${}P$ , also ${}v\in B$ genau dann, wenn ${}x_{v}\neq 0$ ist. Dann ist ${}B$ eine Nichtseite, da andernfalls ${}P\in K^{B}\subseteq \bigcup _{F\in \Delta }K^{F}$ gelten würde. Wegen