Es sei
die Grundmenge und eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach
Fakt
ist
-
eine Abbildung, deren Faser über die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex ist. Wir schreiben die
Jacobimatrix
als
-
wobei als zu verstehen ist, falls
.
Es sei
ein Punkt, der auf zu genau einer Facette liegt. Es sei der Träger von
(der in enthalten ist).
Für jeden Index
ist eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von sei , was auch die Dimension von ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt . Es gibt also solche Indizes. Nach Umnummerierung seien diese Indizes und seien die Nichtseiten der Form
-
zu
.
Wir betrachten die -Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also
-
In der Diagonalen ist stets
-
und die Auswertung der Monome im Punkt ergibt in der Diagonalen Werte . An einer Stelle zum Index mit
ist
-
Der Index gehört nicht zu und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle gleich . Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang , und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest ist, also glatt nach der Definition.
Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger des Punktes in den zwei Facetten
und
liegt, und aus Indizes besteht. Wir können
(nach Umbenennungen)
als
ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass
-
liegt. Es sei nun eine Nichtseite, die von den Nichtseiten
, ,
verschieden sei. Sei
.
Bei
steht an der Stelle in der Jacobimatrix die . Bei
ist
-
da wir
ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index an der Stelle gleich . Daher ist überhaupt die Zeile zu in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens . Der Punkt ist also nicht glatt.