Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Achsenraumkonfiguration/Ideal/Fakt/Beweis2

Beweis

Sei zunächst ${}f=\prod _{v\in A}X_{v}$ zu einer Nichtseite ${}A\subseteq V$. Es sei ${}P=(x_{v})$ ein Punkt der zugehörigen Achsenraumkonfiguration. Das bedeutet, dass der Träger ${}S$ des Tupels eine Seite des simplizialen Komplexes ist. Somit ist ${}A\not \subseteq S$ und das heißt, dass es ein ${}v\in A$ derart gibt, dass der Punkt an diesem Index den Eintrag ${}0$ besitzt. Dann ist auch ${}f(P)=0$.

Sei nun umgekehrt

${}f\notin I_{\Delta }\,.$

Wir schreiben

${}f=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,,$

wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome ${}X^{\nu }$ mit einem Koeffizienten ${}a_{\nu }\neq 0$ auftreten, deren Träger eine Seite des Komplexes ist (da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren). Dabei sei ${}S$ eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in ${}f$ vorkommt. Es sei ${}S\subseteq F$ eine Facette und ${}K^{F}$ der zugehörige Achsenraum, der eine irreduzible Komponente der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom ${}X^{\nu }$, das in ${}f$ vorkommt und dessen Träger nicht in ${}F$ liegt, induziert auf dem Achsenraum ${}K^{F}$ die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von ${}f$ in ${}F$. Dann ist aber ${}f$ einfach ein Polynom in den Variablen ${}X_{v}$, ${}v\in F$, und der ${}K^{F}$ ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach Aufgabe ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum.

Zur bewiesenen Aussage