Sinus und Kosinus/Beschränktes Gebiet/Aufgabe/Lösung

Aufgrund von Fakt (3) ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und damit

{}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=-\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,.

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode ${}\pi$ . Wegen

{}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich ${}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Von ${}{\frac {\pi }{4}}$ bis ${}{\frac {5\pi }{4}}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit

{}{\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\sin x-\cos x\,dx&=\left(-\cos x-\sin x\right)|_{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\\&=-\cos \left({\frac {5\pi }{4}}\right)-\sin \left({\frac {5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=4{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\&=2{\sqrt {2}}.\end{aligned}}