Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt/Beweis2

Beweis

1. Die ersten Eigenschaften folgen unmittelbar aus

   ${}P(x+2\pi )=P(x)\,,$

   da ${}2\pi$ nach Definition von ${}\pi$ eine Volldrehung beschreibt.

2. Wenn man zu einem Winkel den Winkel ${}\pi$ hinzuaddiert, so bedeutet dies, eine Halbdrehung um den Nullpunkt bzw. eine Punktspiegelung am Nullpunkt durchzuführen. Dabei werden die Koordinaten von ${}P(x)$ in ihr Negatives umgewandelt.
3. Eine Winkeladdition von ${}\pi /2$ bedeutet eine Vierteldrehung von ${}P(x)$ gegen den Uhrzeigersinn. Wegen der schon gezeigten Aussagen genügt es, diese Aussage für Winkel zwischen ${}0$ und ${}\pi /2$ zu zeigen. Die trigonometrischen Dreiecke zu ${}x$ und zu ${}x+\pi /2$ sind kongruent, und zwar ist der am Nullpunkt anliegende Winkel des zweiten Dreiecks gleich ${}\pi /2-x$. Somit ist die Ankathete des zweiten Dreiecks, die auf der negativen ${}x$-Achse liegt, gleich der Gegenkathete des ersten Dreiecks.
4. Dies sind einfach die Koordinaten nach einer Viertel-, Halb- und Dreivierteldrehung.
5. Ebenso.

Zur bewiesenen Aussage