Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt/Beweis

Beweis

1. Die erste Eigenschaft ist klar, da

   ${}P(x)=(\cos x,\sin x)\,$

   nach Definition ein Punkt auf dem Einheitskreis ist.

2. Folgt aus (1).
3. Ein negativer Winkel ist so zu verstehen, dass man vom Punkt ${}(1,0)$ aus startend mit dem Uhrzeigersinn entlang des Kreisbogens läuft. Somit ergibt sich die (Kreisbogen)-Bewegung zu ${}-x$, wenn man die Bewegung zu ${}x$ an der ${}x$-Achse spiegelt. Da der Kosinus die ${}x$-Koordinate von ${}P(x)$ ist, ändert er sich nicht bei Spiegelung an der ${}x$-Achse, und da der Sinus die ${}y$-Koordinate von ${}P(x)$ ist, wird daraus bei dieser Spiegelung das Negative.

Zur bewiesenen Aussage